不定积分的求解方法

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• 不定积分的求解方法
  • 一、不定积分
  • 二、基本积分表
  • 三、换元积分法 * 一类换元积分法：（凑微分法，配元法）
  • 四、分步积分法

不定积分的求解方法

一、不定积分

\[ 当F^{'}(x)=f(x)或者dF(x)=f(x)dx则F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数，而不定积分是f(x)的全体原函数 \]

初等函数（连续函数）必有原函数

被积表达式： \[ \int{f(x)dx} \]

\[ \int 积分符号，f(x)被积函数，x积分变量 \]

不定积分的几何意义：

不定积分

全体原函数

平行曲线族

导数

增量比的极限

切线的斜率

案例： \[ \int{\frac{1}{x}dx}=ln|x|+C \]

\[ \frac{d}{dx}{\int{f(x)dx}}=f(x) \]

不定积分的性质和定积分的性质一样

二、基本积分表

\[ \int{kdx}=kx+C \]

\[ \int{x^udx}=\frac{1}{u+1}x^{u+1}+C(注意u\neq-1) \]

\[ \int{\frac{1}{x}dx}=ln|x|+C \]

\[ \int{\frac{1}{1+x^2}dx}=arctanx+C \]

\[ \int{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx}=arcsinx+C \]

\[ \int{cosx}dx=sinx+C \]

\[ \int{sinxdx}=-cosx+C \]

\[ \int{\frac{1}{cos^2x}dx}=\int sec^2xdx=tanx+C \]

\[ \int{\frac{1}{sin^2x}dx}=\int {csc^2x}dx=-cotx+C \]

\[ \int{secxtanx dx}=secx+C \]

\[ \int {cscx}{cotxdx}=-cscx+C \]

\[ \int{e^xdx}=e^x+C \]

\[ \int{a^x}dx=\frac{1}{lna}a^x+C \]

双曲线函数积分公式 \[ \int{shxdx}=chx+C \]

\[ \int{chxdx=shx+C} \]

补充 \[ \int{tanxdx}=-ln{|cosx|}+C \]

\[ \int{cotxdx}=ln{|sinx|}+C \]

\[ \int{secxdx}={ln|secx+tanx|}+C \]

\[ \int{cscxdx}=ln|cscx-cotx|+C \]

\[ \int{\frac{1}{a^2+x^2}dx}=\frac{1}{a}arctan\frac{x}{a}+C \]

\[ \int{\frac{1}{x^2-a^2}dx}=\frac{1}{2a}ln|\frac{x-a}{x+a}|+C \]

\[ \int{\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx}=arcsin\frac{x}{a}+C \]

\[ \int{\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx}=ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C \]

\[ \int{\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx}=ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C \]

三、换元积分法

一类换元积分法：（凑微分法，配元法）

\[ \int{f[φ(x)φ^{,}(x)]dx}=\int{f(u)du}(其中u=φ(x)，du=φ^{,}(x)dx) \]

步骤：

1. 凑微分
2. 换元求微分
3. 回代变量

常用的配元形式： \[ \int{f(ax+b)dx}=\frac{1}{a}\int{f(ax+b)d(ax+b)} \]

\[ \int{f(sinx)cosxdx}=\int{f(sinx)dsinx} \]

\[ \int{f(cosx)sinxdx}=-\int{f(cosx)dcosx} \]

\[ \int{f(tanx)sec^2xdx}=\int{f(tanx)dtanx} \]

\[ \int{f(e^x)e^x}dx=\int{f(e^x)de^x} \]

\[ \int{f(lnx)\frac{1}{x}dx}=\int{f(lnx)dlnx} \]

万能凑幂法： \[ \int{f(x^n)x^{n-1}dx}=\frac{1}{n}\int{f(x^n)dx^n} \]

\[ \int{f(x^n)\frac{1}{x}dx}=\frac{1}{n}\int{f(x^n)\frac{1}{x^n}dx^n} \]

例题： \[ \int{2cos2xdx} \]

cos2x

cosu

u=2x

\[ du=2dx \]

\[ 原式=\int{cosu}du=sinu+C=sin2x+C \]

二类换元积分法：是第一类换元积分法的逆思维 \[ 设x=φ(t)是单调可导函数，且φ^{,}(t)\neq0，f[φ(t)]φ^{,}(t)具有原函数，则有 \]

\[ \int{f(x)dx}=\int{f[φ(t)]φ^{,}dt|_{t=φ^{-1}(x)}} \]

\[ 其中t=φ^{-1}(x)是x=φ(t)的反函数 \]

常见类型： \[ \int{f(x,\sqrt{a^2-x^2})dx},令x=asint或x=acost \]

\[ \int{f(x,\sqrt{a^2+x^2})dx},令x=atant \]

\[ \int{f(x,\sqrt{x^2-a^2})dx},令x=asect \]

\[ \int{f(a^x)dx},令x=a^x \]

四、分步积分法

技巧：反对幂指三，前u后v‘ \[ 由导数公式(uv)^{,}=u^{,}v+uv^{,}积分得uv=\int {u^{,}v}dx+\int{uv^{,}dx} \] 移项得： \[ \int{uv^{,}dx}=uv-\int {u^{,}v}dx \]

\[ \int{udv}=uv-\int {v}du \]

上述式子就是分步积分公式